Question

高中数学-----------------数列与不等式结合的题目

数列{an}满足A1=1/2, A(n+1)=1/(2-An)
(1)求an通项公式
(2)若bn=1/an－1，｛bn｝的前n次和为Bn,若存在整数m,对任意n∈N+且n≥2都有B3n－Bn＞m/20成立，求m的最大值。
(3)求证：Σ[1－ai/a（i+1）][1/√a(i+1)]＜2（√2－1）（Σ上面是n,下面是i=1)
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答案：
(2)m最大值为18
(1),(3)是证明
打错了------------------第一问的答案是an=n/(n+1)

Answer 1

A(n+1)=1/(2-An)可以用特征根发求通项公式，实在不会的话就用数学归纳法。
本题对应的特征方程为x(2-x)=1所以x=1
所以an=1+1/Cn其中Cn=-2-(n-1)=-n-1所以an=n/(n+1)

bn=1/n第二问比较简单
设Dn=B3n－Bn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+·····+1/(n+2n)
所以Dn+1=B3(n+1)－Bn+1=1/(n+2)+1/(n+3)+·····+1/(n+1+2n+2)
所以Dn+1-Dn=1/(n+1+2n)+1/(n+1+2n+1)+1/(n+1+2n+2)-1/(n+1)
=1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)-3/(3n+3)
=1/(3n+1)+1/(3n+2)-2/(3n+3)>0
所以Dn+1>Dn即Dn递增，所以D1=B3－B1=1/2+1/3=5/6最小
对任意n∈N+且n≥2都有B3n－Bn＞m/20成立
所以5/6>m/20即m<50/3所以m最大为16

追问

第二问方法我懂了，但n≥2,最小值不是B3－B1

追答

n≥2,最小值是D2没注意看范围，不好意思

Answer 2

1------------
A(n+1)
=(1-0*An) /(2- An)
=(2-1*A(n-1))/(3-2*A(n-1))
=(3-2*A(n-2))/(4-3*A(n-2))
=......
=(n-(n-1)*A1)/(n+1-n*A1)
=(n+1)/(2+n) ,,,,,(n>1)

==>An=n/(n+1)