Question

已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)＝3/5, sin(A-B)＝1/5. (1)求证：tan

已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)＝3/5, sin(A-B)＝1/5.
(1)求证：tan A＝2tanB ；
(2)设AB＝3，求AB边上的高。

Answer 1

sin(A+B)=sinAcosB＋cosAsinB=3/5（1）
sin(A-B)=sinAcosB－cosAsinB=1/5（2）
（1）－（2）×3可得2sinAcosB=4osAsinB，两边同时除以cosBcosA
所以tan A＝2tanB

作AB边上的高CD交AB于D,设CD=h，AD=X,BD=3-X
tan A＝2tanB ,可得h/x=2h/（3-x），解得x=1，
（1）＋（2）可得sinAcosB=2/5
所以h/√﹙h²＋x²﹚×﹙3－x﹚／√﹙h²＋﹙3－x﹚²﹚=2/5
h²／﹙h²＋1﹚×﹙3－1﹚²／﹙h²＋4﹚=4／25
解得h²=10±4√6，所以h=√6±2

Answer 2

作AB边上的高CD交AB于D,设CD=h，AD=X,BD=3-X
tan A＝2tanB ,可得h/x=2h/（3-x），解得x=1，
tan(B)=sinB/cosB=sinBcosA/cosAcosB
cos(A)cos(B)=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)]=1/2[4/5+2根号6/5]=(根号6-2)/5
tanB=1/(根号6-2)=(根号6+2)/2