Question

数学题：比较√3－√2与√2－1的大小；√4－√3与√3－√2的大小；√5－√4与√4－√3的大小；猜想

√﹙n＋1﹚－√n与√n－√﹙n－1﹚的大小关系，并证明你的结论

Answer 1

[√﹙n＋1﹚－√n] * [√﹙n＋1﹚+ √n] = 1； [√n－√﹙n－1﹚] * [√n + √﹙n－1﹚] = 1。

[√﹙n＋1﹚－√n]/1=[√﹙n＋1﹚－√n}]/{[√﹙n＋1﹚－√n] * [√﹙n＋1﹚+ √n]}=1/[√﹙n＋1﹚+ √n]
[√n－√﹙n－1﹚]/1=[√n－√﹙n－1﹚]/{[√n－√﹙n－1﹚] * [√n + √﹙n－1﹚] }=1/[√n + √﹙n－1﹚]

[√﹙n＋1﹚+ √n]> [√n + √﹙n－1﹚]，所以1/[√﹙n＋1﹚+ √n]<1/[√n + √﹙n－1﹚]

所以√﹙n＋1﹚－√n<√n－√﹙n－1﹚

Answer 2

(√3－√2)+(√2－1)=√3-1,大于0，所以√3－√2大于√2－1.......以此类推，前项大于后项。
√﹙n＋1﹚－√n与√n－√﹙n－1﹚=√﹙n＋1﹚－√﹙n－1﹚，一定大于0，所以
√﹙n＋1﹚－√n大于√n－√﹙n－1﹚。

Answer 3

∵[√﹙n＋1﹚－√n] * [√﹙n＋1﹚+ √n] = 1
[√n－√﹙n－1﹚] * [√n + √﹙n－1﹚] = 1
又由n+1 ＞ n-1
∴ √﹙n＋1﹚ ＞ √﹙n－1﹚
∴ [√﹙n＋1﹚+ √n] ＞ [√n + √﹙n－1﹚]
易得 √﹙n＋1﹚－√n ＜ √n－√﹙n－1﹚

Answer 4

√﹙n＋1﹚－√n=(√﹙n＋1﹚－√n)(√﹙n＋1﹚+√n)/(√﹙n＋1﹚+√n)=1/(√﹙n＋1﹚+√n)
√n－√﹙n－1﹚=(√n－√﹙n－1﹚)(√n+√﹙n－1﹚)/(√n+√﹙n－1﹚)=1/(√n+√﹙n－1﹚)
因为(√﹙n＋1﹚+√n)>(√n+√﹙n－1﹚)

1/(√﹙n＋1﹚+√n)<1/(√n+√﹙n－1﹚)
即

√﹙n＋1﹚－√n<√n－√﹙n－1﹚

Answer 5

√(n＋1)－√n = 1 / [√(n＋1) +√n ]
√n － √(n-1) = 1 / [√n + √(n-1) ]
√(n＋1) +√n > √n + √(n-1)
∴ 1/[√(n＋1) +√n ] < 1 / [ √n + √(n-1) ]
√(n＋1)－√n < √n － √(n-1)