Question

证明f(x)=(1+1/x)^x在0到正无穷上单调增加

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

设y=(1+1/x)^x
lny=xln(1+1/x)
两边求导
y'/y=ln(1+1/x)-x/(1+x²)>0

因此，f(x)=(1+1/x)^x在0到正无穷上单调增加

Answer 3

f'(x)=（1+1/x）^x[ln(x+1)-lnx-1/x+1]，x∈（0，∞）
令g(x)=ln(x+1)-lnx-（1/x+1）
g'(x)=(1/x+1)-(1/x)+1/(x+1)^2
=-1/(1+x)^2<0
g'(x)<0不代表f'(x)<0。只能代表g(x)单调递减。
又因为limx→+∞g(x)
=limx→+∞[ln(1+1/x)-1/x+1]=0
g(x)单减又趋于无穷时为0
所以g(x)>0
即f‘(x)>0，f(x)在(0,+∞)单调增加。

Answer 4

当x是正整数时课本上有证明的。
这个问题可利用f'(x)>0而得知f(x)在0到正无穷上是单调增加的。