Question

1、观察下列算式：2^2-1^2=3=2x1+1 3^2-2^2=5=2x2+1 4^2-3^2=7=2x3+1 5^2-4^2=9=2x4+1

(1)继续写出上述第n个算式，并把所得n个式子两边分别相加，得出什么结果？
（2）根据上述结果，写出求S1=1+2+3+……+n的公式；
（3）能否类比上面方法，得出求S2=1^2+2^2+3^2+……+n^2的公式？

Answer 1

2^2-1^2=3=2x1+1
3^2-2^2=5=2x2+1
4^2-3^2=7=2x3+1
5^2-4^2=9=2x4+1
……
n^2-(n-1)^2=2n-1=2(n-1)+1

(1) 把所得n个式子两边分别相加，
左边=n^2-1^2
右边=2(1+2+3+ ……+(n-1))+n-1
（2）n^2-1=2(1+2+3+ ……+(n-1))+n-1
n^2+n=2(1+2+3+ ……+(n-1))+2n=2Sn
Sn=n(n+1)/2
(3) 由（n+1）³-n³=3n²+3n+1，代入得：
（2）³-1³=3×1²+3×1+1
（3）³-2³=3×2²+3×2+1
（4）³-3³=3×3²+3×3+1
………………………
（n）³-﹙n-1﹚³=3﹙n-1﹚²+3﹙n-1﹚+1
（n+1）³-n³=3n²+3n+1
左右两侧相加得：
（n+1）³-1³=3﹙1²+2²+3²+…+n²﹚+3﹙1+2+3+…+n﹚+n
n³+3n²+3n=3﹙1²+2²+3²+…+n²﹚+3n(n+1)/2+n
化简得：1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6

追问

n^2+n=2(1+2+3+ ……+(n-1))+2n=2Sn
不明白！！！

Answer 2

（1）解答：
2²-1²=3=2x1+1--------------------第1个算式
3²-2²=5=2x2+1--------------------第2个算式
4²-3²=7=2x3+1--------------------第3个算式
5²-4²=9=2x4+1--------------------第4个算式
..........
(n+1)²-n²=2n+1=2xn+1--------------------第n个算式
左边相加=（2²-1²）+（3²-2²）+（4²-3²）+.......+（(n+1)²-n²）
=(n+1)²-1²
=(n+2)n
右边相加=2（1+2+3+......+n）+n 。

（2）解答：
根据（1）的结果，左边相加=右边相加，即：
(n+2)n=2（1+2+3+......+n）+n
因S1=1+2+3+......+n
故S1=（n²+n）/2。

（3）解答：
根据此类比方法，可以得出规律公式：
(n+1)^k-n^k=kn^(k-1)+kn^(k-2)+....+kn^1+1。
当k=3时，有：
（n+1）³-n³=3n²+3n+1 。
按照此方法，请你试着推演吧。

Answer 3

那么复杂啊