Question

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形。。

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少；
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

Answer 1

⑴﹙10-2x﹚﹙8-2x﹚＝48 x＝1 ﹙cm﹚
⑵ S＝2x[10-2x+8-2x]＝-8﹙x-9/4﹚²+40.5 当x＝2.25cm时。侧面积有最大值40.5cm²
﹙⑴时侧面积是28cm² ﹚
⑶S1＝2x[﹙10-2x﹚/2+8-2x]＝-6﹙x-13/6﹚²+169/6
S2＝2x[﹙8-2x﹚/2+10-2x]＝-6﹙x-7/3﹚²+196/6
196/6＞169/6
在8cm的边上剪长方形，宽﹙即小正方形边长﹚7/3 cm。有最大的侧面积＝196/6﹙cm²﹚

Answer 2

解：（1）设正方形的边长为xcm．
则（10-2x）（8-2x）=48，
即x2-9x+8=0，
解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．
答：剪去的正方形的边长为1cm．
（2）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与x的函数关系式为：
y=2（10-2x）x+2（8-2x）x，
即y=-8x2+36x．（0＜x＜4）
改写为y=-8（x-9 4 ）2+81 2 ，
∴当x=2.25时，y最大=40.5．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2
（3）设剪去的正方形边长为xcm，
若按图1所示的方法剪折，
解方程2(8-2x)x+2×10-2x 2 •x=30，得该方程没有实数解
若按图2所示的方法剪折，
解方程2(10-2x)x+2×8-2x 2 •x=30，
得x1=5 3 ，x2=3．
∴当按图2所示的方法剪去的正方形边长为5 3 cm或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30 cm2

Answer 3

解：（1）设正方形的边长为xcm．
则（10-2x）（8-2x）=48，
即x2-9x+8=0，
解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．
答：剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与x的函数关系式为：
y=2（10-2x）x+2（8-2x）x，
即y=-8x2+36x．（0＜x＜4）
改写为y=-8（x-94）2+812，
∴当x=2.25时，y最大=40.5．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

Answer 4

⑴﹙10-2x﹚﹙8-2x﹚＝48 x＝1 ﹙cm﹚
⑵ S＝2x[10-2x+8-2x]＝-8﹙x-9/4﹚²+40.5 当x＝2.25cm时。侧面积有最大值40.5cm²
﹙⑴时侧面积是28cm² ﹚
⑶S1＝2x[﹙10-2x﹚/2+8-2x]＝-6﹙x-13/6﹚²+169/6
S2＝2x[﹙8-2x﹚/2+10-2x]＝-6﹙x-7/3﹚²+196/6
196/6＞169/6