Question

必修四数学题，求过程

已知sinθ+cosθ=1/5,θ∈(0,π),求sin^2θ-cos^2θ的值
要过程

Answer 1

sinθ+cosθ=1/5
平方得
(sinθ+cosθ)²=1/5²=1/25
sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/25
sin2θ=-24/25
θ∈(π/2,3π/4),
2θ∈(π,3π/2),
cos2θ<0
cos2θ=-7/25

sin^2θ-cos^2θ
=-cos2θ
=7/25

追问

疑问一：为什么sin2θ=-24/25
疑问二：看清题目，题目是θ∈(0,π),而不是θ∈(π/2,3π/4),
疑问三：cos2θ=-7/25？
疑问四：sin^2θ-cos^2θ为什么会等于-cos2θ

追答

1
sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/25
因为
sin²θ+cos²θ=1
2sinθcosθ=-24/25
倍角公式
sin2θ=2sinθcosθ=24/25

2
范围是通过sinθ+cosθ=1/5缩小的
这时，显然
sinθ>0,cosθ0
得到范围是θ∈(π/2,3π/4)

3
sin²2θ+cos²2θ=1
cos2θ<0

4
这是cos的倍角公式

我感觉你的基础很弱
需要多多练习

追问

我们没学倍角公式

追答

现在学到哪儿了？

两角和公式学没学？

追问

我们明天要学正切函数的性质和图像，在学诱导公式的时候，没有您说的这倍角公式

追答

没学的话，老老实实解方程
sinθ+cosθ=1/5
平方得
(sinθ+cosθ)²=1/5²=1/25
sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/25
1+2sinθcosθ=1/25
sinθcosθ=-12/15
又已知sinθ+cosθ=1/5
则sinθ cosθ是方程
x²-(1/5)x-12/5=0的解
(x-4/5)(x+3/5)=0
又θ∈(0,π)
sinθ>0
sinθ=4/5
cosθ=-3/5
则
sin^2θ-cos^2θ
=(16/25)-(9/25)
=7/25

这样，可以理解吧？

Answer 2

首先你要知道
（sinθ+cosθ）^2=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ=1+sin^2θ

所以
sin^2θ=2sinθcosθ=（1/5）^2-1=-24/25
所以
2sinθcosθ=2tanθ(cosθ)^2=-24/25<0
所以
tanθ<0

又因为θ∈(0,π)
所以θ∈(π/2,π)

所以
cosθ<0 sinθ>0
所以
cosθ-sinθ<0

因为（cosθ-sinθ）^2=(cosθ)^2+(sinθ)^2-sin^2θ=1-(-24/25)=49/25
所以 cosθ-sinθ=-7/5

所以
sin^2θ-cos^2θ
=（sinθ+cosθ）（sinθ-cosθ）
=1/5*7/5
=7/25

解毕