Question

已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=(2a_n)+1。

（1）求证数列{(a_n)+1}是等比数列；（2）求数列{a_n}的通项公式；（3）数列{a_n}的前n项S_n。（特别提示 _之后为下标）

Answer 1

【第（1）问】
证：由a<n+1> = 2a<n>+1，得
a<n+1> +1 = 2 (a<n> + 1)
而，a<1>+1 = 1+1 =2 ≠ 0
∴数列{(an)+1} 是以2为首项，2为公比的等比数列。（证毕）

【第（2）问】
解：由(1)得，
(an)+1 = 2^n
∴数列{a_n}的通项公式 为 an = (2^n) - 1

【第（3）问】
解：数列{(a_n)+1}的前n项和 = 2(2^n - 1)/(2-1) = 2^(n+1) - 2
∴数列{a_n}的前n项为
S_n = 2^(n+1) - 2 - n