Question

如图中，四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线。将四边形分成四个三角形，其中相对的两个三角形

Answer 1

设任意四边形ABCD得对角线BD上一点G，连接AG、AC.
则S△AGB*S△CGD=S△AGD*S△BGC
证明：设△ABD的BD边上的高为h1，△CBD得BD边上的高为h2，
S△AGB=1/2*BG*h1，
S△AGD=1/2*DG*h1，
S△CGD=1/2*DG*h2，
S△BGC=1/2*BG*h2，
S△AGB*S△CGD=1/4*BG*DG*h1*h2，
S△AGD*S△BGC=1/4*BG*DG*h1*h2，
所以S△AGB*S△CGD=S△AGD*S△BGC
即：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等。
不能，因为它不能分成同样边数的四个三角形。而三边中点连线，虽然把三角形切成四个面积相等的三角形，但位置不是相对的。

Answer 2

证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有：S△AOB=BO•AE，
S△COD=DO•CF，
S△AOD=DO•AE，
S△BOC=BO•CF，
∴S△AOB•S△COD=BO•DO•AE•CF，
S△AOD•S△BOC=BO•DO•CF•AE，
∴S△AOB•S△COD=S△AOD•S△BOC．（4分）；
（2）能．
从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．
或S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC，（5分）
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，
求证：S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC．
证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，
则有：S△AOD=DO•AE，S△BOC=BO•CF，
S△OAB=OB•AE，S△DOC=OD•CF，
∴S△AOD•S△BOC=OB•OD•AE•CF，
S△OAB•S△DOC=BO•OD•AE•CF，
∴S△AOD•S△BOC=S△OAB•S△DOC．