Question

关于解二阶常系数微分方程的问题

求高人指点！！！上网寻找这个真相让我心力憔悴啊：关于解二阶常系数微分方程…在特征方程有一对共轭复根的情况下，求得y1和y2是方程带有复数的解。问题是：为什么(y1+y2)/2和(y1-y2)/2i也可以作为方程的解？(书上的解释只有一句话：“根据叠加原理”。不明白叠加原理和这个有什么关系，高中复数也是一知半解)

Answer 1

叠加原理：（u+v)'=u'+v'
(Cu)'=C u'

y1y2是共轭复数
那么y1、y2分别是微分方程的特解
y1/2 y2/2是微分方程的特解
y1/2+y2/2是微分方程的特解

i是虚数单位，是常数
因此y1/2i 、y2/2i也是微分方程的解
y1/2-y2/2i也是微分方程的解

追问

本章中提到的叠加原理和你说的不一样
(原文)：
设非齐次线性微分方程的右端f(x)是两个函数之和
y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x)
而y1*(x)与y2*(x)分别是方程
y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)
与 y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)
的特解
那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解

追答

y1''+Py1'+Qy1=f1 (Cu)'=C u'
y2''+Py2'+Qy2=f2
(y1''+y2'')+P(y1'+y2')+Q(y1+y2)=f1+f2
请对照 （u+v)'=u'+v'
(y1+y2)''+P(y1+y2)'+Q(y1+y2)=f1+f2
道理相通

(C1y1+C2y2)''+P(C1y1+C2y2)'+Q(y1+y2)=C1f1+C2f2