Question

已知中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆C的离心率为1/2 直线L=x+2y-4=0 是椭圆C的切线,切

已知中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆C的离心率为1/2 直线L=x+2y-4=0 是椭圆C的切线,切点为B，求椭圆C的标准方程？

Answer 1

设椭圆方程：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，变为：b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2
∵e = 1/2 = c/a ，∴a^2 = 4c^2 = b^2 + c^2 ，∴a^2 = 4b^2/3
∴3b^2x^2 + 4b^2y^2 = 4b^2·b^2 ，令b^2 = t > 0 ，则3t·x^2 + 4t·y^2 = 4t^2 ，
将直线L方程代入可得：3t·x^2 + t·(x - 4)^2 = 4t^2
整理可得：4t·x^2 - 8tx + 16t - 4t^2 = 0 ，∵直线L是椭圆的切线，∴方程有相等实根，∴△ = 0 ，
∴整理得：4 = 4·1·(4 - t) ，∴t = 3 ，∴b^2 = 3 ，a^2 = 4
∴椭圆C的标准方程：(x^2/4) + (y^2/3) = 1