Question

已知圆O1:x^2+(y-2)^2=1上一点P与双曲线x^2-y^2=1上一点Q,求P,Q两点距离的最小值。 求过程

Answer 1

解：由于圆外一点到圆的最小距离是该点到圆心的距离减去半径，
所以双曲线x²-y²=1上一点Q到圆的最小距离是点Q到圆心的距离减去圆的半径。
圆x²+(y-2)² =1的圆心为(0,2)，半径为1，
设Q(x,y),则PQ两点距离的最小值为
√(x² +(y-2)²)-1
=√(y² +(y-2)²)-1
=√(2y²-4y+5)-1
>=√3-1
其中用到Q(x,y)双曲线x²-y² =1上，
坐标满足双曲线方程，
而上式在y=1时取最小值。

Answer 2

直线PQ必过圆心o（0，2）；PQ=QO-PO;PO=1;QO=根（x^2+(y-2)^2）;x^2-y^2=1,x^2=y^2+1
QO^2=y^2+1+(y-2)^2=2y^2-4y+5;当y=1时QO（min）=根3；所以PQ(min)=（根3）-1

Answer 3

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