Question

看上去简单却十分难的一道几何证明题 求数学高手解答

如图，△ABC中，BE、CD分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，且BE=CD。求证：△ABC是等腰三角形。

Answer 1

由角平分线的对应边成比例，所以
BC/CE=AB/AE，BC/BE=AC/AE
因为 BE=CD 所以 AB/AE=AC/AD
所以三角形ABC和三角形ACE相似
由相似三角形对应角相等，所以角ABE=角ACD
所以角ABC=角ACB
得证~三角形ABC为等腰三角形

Answer 2

证明：设△ABC各角∠A、∠B、∠C 所对应的边分别为a、b、c。
已知∠B、∠C 的角平分线 BE=CD
假设边AB>AC, 即有 c>b , ∠C>∠B
我们试以△ABC的边、角来表示角平分线BE、CD,同时利用三角形
的面积公式到以下等式：
S△ABC=1/2a.b.sinB=1/( 2) c.BE.sinB/2 + 1/( 2) a.BE.sinB/2
由此可得： BE=(2cosB/2)/(1/c +1/a)
同理可得： CD=(2cosC/2)/(1/b+1/a)
又 0<B/2<л/2 , 0<C/2<л/2
所以cosB/2> cosC/2; （∠C>∠B）
又 1/c+1/a<1/b+1/a (c>b)
BE=(2cosB/2)/(1/c +1/a)> (2cosC/2)/(1/b+1/a)=CD
得： BE>CD
此结果与已知条件BE=CD矛盾，又我们再假设AB<AC,用同样的方法
得到BE<CD。所以在本题的已知条件下，两底角的角平分线相等，其
对应的两条边不相等的可能性不存在！
故：AB=AC 即△ABC为等腰三角形。
（同时我们也证明了：“任意三角形内大边上的角平分线较短”）

Answer 3

这是著名的斯坦纳—莱莫斯定理，简称斯坦纳定理。楼主有兴趣可以看看百度百科给出的证明。
百度百科：http://baike.baidu.com/view/544163.htm#2
注意是“几何定理”那一栏的。

还有一个版本，刚找到，更全的……
http://baike.baidu.com/view/2539884.htm

Answer 4

2cosα/BE=1/BC+1/AB
cosβ/CD=1/BC+1/AC张角定理
若α>β 可推出AB>AC矛盾！
若α<β 可推出AB<AC矛盾！所以AB=AC

Answer 5

http://zhidao.baidu.com/question/101144416.html