Question

已知如图在梯形ABCD中，AD平行于BC，角B+角C=90°，E、F分别为AD、BC的中点求证BC-AD=2EF

Answer 1

如图：设BA与CD交于点P，在三角形PBC中，因为角B+角C=90°，那么角BPC等于180-90=90角，所以三角形BPC与三角形APD都是直角三角形，而EF为AD、BC中点，根据直角三角形直角中线定理：直角中线等于弦边的一边，也就是AD=2PE，BC=2PF；

设直角三角形BPC直角中线PF交AD于点O，因为AO平行BF，刚三角形APO相似于三角形BPF，而BF=PF=FC，则AO=PO，同理三角形POD相似于三角形PFC，而BF=PF=FC，则DO=PO，所以AO=PO=DO，即O点为AD中点，则O点与E点重合，即E点为PF与AD相交点，P、E、F在一条直线上，根据前面AD=2PE，BC=2PF；，那么BC-AD=2PF-2PE=2（PF-PE）=2EF

追问

谢谢，不过你做的太麻烦！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！欧啊、欧、啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

追答

其实第二段可以不用证明，我觉得应该有定理说明PEF在同一条线吧

Answer 2

感觉以上答案驴唇不对马嘴，正确做法如下：
延长BA,CD两线相交于P，因为∠B+∠C=90°，所以∠BPA=90°，连PF,交AP于S,则PF=BF=CF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）,所以∠C=FPC，∠B=∠BPF，因为AD//BC,所以∠C=∠PDA，∠B=∠PAD,所以∠PAD=∠BPF，∠PDA=∠FPC，所以，AS=PS,DS=PS,所以S为AD中点，所以S与E重合，即PF经过E，PE=1/2AD.EF=PF-PE=1/2BC-1/2AD=1/2(BC-AD).回答完毕。