Question

求解一道高一竞赛平面几何题(巨难，求高手)。

如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，∠DCO的平分线CQ交线段OD于Q，连接AQ，作OM⊥BC于N，ON⊥AQ于N，且P为AB边的中点，OA=OB*OD/(OC+CD)。
求证：1、A,B,C,D四点共圆； 2、PM=PN

Answer 1

（1）因为CQ平分角DCO，由角平分线分线断成比例可得，
OQ=OC*OD/(OC+CD),
所以OQ*OB=(OA*(OC+CD)/OD)*(OC*OD/(OC+CD))=OA*OC
所以△COQ∽△BOA.
所以∠OCQ=∠OBA.
所以ABCQ四点共圆。（你题抄错啦）
（2）取AO,BO中点E,F。连接NE,MF,
由中位线性质可得，2PE=BO，2PF=AO，
因为NE,MF分别为RT△ANE、RT△BNF的斜边上中线，
所以2NE=AO，2ME=BO
因为ABCQ四点共圆，
所以角QAE=角QBC
所以∠NEO=∠MFO,则∠NEP=∠MFP,
因为∠OEP=180-∠AOB=∠OFP.
所以△NEP≌△PFM，
所以PM=PN.

Answer 2

第一问：因为CQ平分角DCO，所以OQ等于OC*OD/(OC+CD),故OQ*OB=(OA*(OC+CD)/OD)*(OC*OD/(OC+CD))=OA*OC所以△COQ∽△BOA.故∠OCQ=∠OBA.故ABCD四点共圆。
第二问取AO,BO中点E,F。则由中位线性质，PE=0.5BO，PF=0.5AO，∠OEP=2π-∠AOB=∠OFP.又因为NE,MF分别为RT△ANE、RT△BNF的斜边上中线，所以NE=0.5AO=PF，ME=0.5BO=PE,因为RT△ANE、RT△BNF相似，所以又有∠NEO=∠MFO,则∠NEP=∠MFP,故△NEP≌△PFM，故PM=PN.