Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是APB 上任........剩下的看图。

Answer 1

解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF＝1/2OP＝1/2，AF＝BF． 在Rt△OAF中，∵AF＝根3/2，∴AB＝2AF＝根3．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴s=SABD+SACD+SBCD
＝1/2AB•DE＋1/2BC•DH＋1/2AC•DG＝1/2(AB＋BC＋AC) •DE＝1/2l•DE．
∵S/DE*DE＝4根3，∴1/2lDE/DE*DE＝4根3，∴l＝8根3DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝1/2∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝DG/tan30＝根3DE，∴CH＝CG＝根3DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2根3＋2根3DE＝8根3DE，解得DE＝1/3，
∴△ABC的周长为8根3/3

Answer 2

解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF＝1/2OP＝1/2，AF＝BF． 在Rt△OAF中，∵AF＝根3/2，∴AB＝2AF＝根3．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴s=SABD+SACD+SBCD
＝1/2AB•DE＋1/2BC•DH＋1/2AC•DG＝1/2(AB＋BC＋AC) •DE＝1/2l•DE．
∵S/DE*DE＝4根3，∴1/2lDE/DE*DE＝4根3，∴l＝8根3DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝1/2∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝DG/tan30＝根3DE，∴CH＝CG＝根3DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2根3＋2根3DE＝8根3DE，解得DE＝1/3，
∴△ABC的周长为8根3/3