Question

常微分方程如何分离变量？

真纠结...两边积分还有设U什么的都会，就是这个不会...
比如；y''-y'=2x，这个应该先设y'为u吧？然后y''就是du/dx，然后带入，du/dx=2x+u，之后就是分离变量然后两边积分了，问题是怎么分离变量？分离变量应该是左边只有和y相关的，右边只有和x相关的，但这个三项的式子怎么做到？实在是不会...只会两项式的分离变量，书上居然也不写...

Answer 1

du/dx=2x+u: 这个称为一阶非齐次线性方程，不能分离变量
=> du/dx-u=2x: ..........................(.* )
用【常数变易法】或 【公式】
先求 du/dx=u 的解 分离变量 du/u=dx
两边积分 u=Ce^x
再令 u=C(x)e^x ....................(**) 是 (*)的解
得到
C'(x)=2xe^(-x) 解出C(x) 代入（**），就得到u

追问

呃，原来如此....
那，我想再请教一下，C'(x)=2xe^(-x) 是怎么求出来的？

追答

u=C(x)e^x u'=C'e^x+Ce^x
满足：
du/dx-u=2x
C'(x)e^x+C(x)e^x-C(x)e^x=2x
得到
C'(x)=2xe^(-x)