Question

如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3 （a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．

第二、三问要过程的！！！！不要只给点的坐标！！！！！！！！
请看清楚，这题和网上的不同的！！！！！拜托不要网上随便搜了应付我，拜托了
谢谢了！！！！！
。

如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3 （a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) D的坐标为（-2,0），问：直线AC上是否存在点F，使△ODF为等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．（要过程！）
(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

（1）分别将点A(1，0)和点B (－3，0）代入抛物线方程，得

0=a+b+3

0=9a-3b+3

解二元一次方程，得 a=-1，b=-2

解析式为y=-x^2-2x+3

(2)C（0,3）

AC的直线方程为y=-3x+3（用两点式）

如图

第一种情况（红色）OD为底边

OD上中垂线为x=-1

F为OD中垂线与AC直线的交点，即（-1,6）

验算OF=DF=根号37

第二种和第三者情况OD为腰，OF为腰

设F（x，y)  |OD|=|OF|=2

则y=-3x+3（F在直线AC上）

x^2+y^2=4（OF^2=OD^2，OF^2=x^2+y^2）

代入消元法10x^2-18x+5=0

求根公式x= (9±√31)/10

y= (3±√31)/10 

（3）BC=3√2

BC所在直线方程为y=x+3

设点E（x0,y0）

过E点做抛物线切线l

当l与BC平行时，高最大

设l的直线方程为y=x+b（直线平行，斜率相等）

E同时在l与抛物线上，则

y0=x0+b

y0=-x0^2-2x0+3

代入消元，化简

x0^2+3x0+b-3=0

由于直线与抛物线相切

所以△=9-4（b-3）=0

b=21/4

x0=-3/2

y0=15/4

E(-3/2，15/4)

高为E点到BC的距离，用点到直线的距离公式

将BC化为一般式x-y+3=0

h=d=|-3/2-15/4+3|÷√(1^2+(-1)^2)=9√2/8

面积S=1/2*BC*h=27/4

追问

还可以介绍一些数学方面的公式么，类似：点到直线的距离公式。之类的。可以吗？拜托了。
明天之内给我，谢谢了！我要模考了。