Question

如图，在△ABC中∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B,C重合），EF⊥AB，EG⊥AC

（1）求证：EG比AD=CG比CD   （2） FD与DG是否垂直？说明理由（3）当AB=AC时，△FDG是等腰直角三角形 吗说明理由                                                                                                

Answer 1

(1)∵∠ADC=∠EGC=90°
∠ECG=∠ACD
∴△ECG∽△ACD
∴EG/AD=CG/CD
(2)FD⊥DG，
∵∠BDA=∠BAC=Rt∠，∠B=∠B
∴∠C=∠BAD
∵EG/AD=CG/CD，EG=AF
∴AF/AD=CG/CD
∴△ADF∽△CDG
∴∠FDA=∠GDC
∵∠CDG+∠GDA=90°
∴∠FDG=∠ADF+∠GDA=90°
∴FD⊥DG
(3) △FDG为等腰直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠C=45°
又∠EGC=90°
∴∠CEG=45°
∴CG=EG=AF
又∵∠FDA=∠GDC，∠DAF=∠DCG
∴△FDA≌△GDC
∴FD=DG
又∵∠FDG=90°
∴△FDG为等腰直角三角形

Answer 2

（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EG⊥AC，
∴∠ADC=∠EGC=90°，
又∵∠C为公共角，
∴△ADC∽△EGC，
∴EGAD=
CGCD．