Question

已知函数f(x)=3x^2-6x-5若对于任意a∈[1,2],关于x的不等式f(x)≤x^2-(2a+6)x+a-b在[1,3]上恒成立求实数b的

Answer 1

不等式 f(x)<=x^2-(2a+6)x+a-b 化为
3x^2-6x-5<=x^2-(2a+6)x+a-b ，
即 b<=-2x^2-2ax+a+5 ，
据已知，上式对 a∈[1，2] 及 x∈[1，3] 恒成立，
因此 b 小于或等于 g(x)=-2x^2-2ax+a+5 的最小值 。
由 g(x)=-2(x+a/2)^2+a^2/2+a+5 ，抛物线开口向下，对称轴 x=-a/2<1 ，
因此，mimg(x)=g(3)=-18-6a+a+5=-13-5a ，当 a=2 时，最小值为 -23 ，
所以 b<=-23 。

Answer 2

不等式f(x)≤x^2-(2a+6)x+a-b即：3x^2-6x-5≤x^2-(2a+6)x+a-b;
即：2x^2+a(2x-1)-5+b≤0;
把左面看成关于a的函数，因为x∈[1,3]，所以它是a的增函数；
要使不等式对任意a∈[1,2]恒成立，只需此函数的最大值≤0；
a=2时，函数有最大值2x^2+4x-7+b,所以2x^2+4x-7+b≤0对x∈[1,3]恒成立
即：-b≥2(x^2+2x-7/2)=2(x+1)^2-9对x∈[1,3]恒成立；
因为函数g(x)=2(x+1)^2-9在[1,3]上是增函数；x=3时，g(x)取得最大值=23
所以只需-b≥23即可；
所以b的取值范围是：(-∞,-23]