Question

初三数学题 几何与代数结合

如图，在平面直角坐标系中，直线y=4/3+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形。
（1）直接写出点A，B坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时动点M从点A出发，沿直线AB以每秒5/3个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH垂直OA，垂足为H，连接MP,MH。设点P的运动时间为t秒
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由。

Answer 1

（1）直线方程为：y=4x/3+4
令x=0，得到点B坐标（0,4）
令y=0，得到点A坐标（-3,0）

C点是OB中点，所以点C坐标为（0,2）
AOCD为矩形，那么点D的横坐标和A相同，D的纵坐标和C相同，所以点D坐标为（-3,2）
CD直线方程为 y=2
代入AB直线坐标方程，解出 x = -3/2
即AB和CD的交点坐标为（-3/2,2）

（2）
从C点出发，P在CD上一每秒一个单位长度的速度运动。
运动t秒时，CP = t，所以点P坐标为（-t，2）
D点是P运动的终点，所以 0≤t≤3

M点沿直线AB以每秒5/3个单位长度的速度运动
到t秒的时候，AM=5t/3
设M点坐标为（x，y）
AM：AB = y：OB
根据勾股定理可以得出：AB = 5
所以 y = 4t/3
代回AB直线方程，解出 x = t-3
所以t秒时，点M坐标为（t-3,4t/3）

PH垂直于OA，那么H点坐标为（-t，0）

①把AB和CD的交点记为E，上一问中已经求出E点坐标为（-3/2,2）
Ⅰ
当M在AE上时，△MPH与矩形AOCD重合部分就是△MPH本身
此时M点横坐标≤-3/2，即 t-3≤-3/2
所以 t≤3/2
△MPH以PH为底的话，三角形的高就是点M到PH的距离，也就是M点和P点的横坐标之差的绝对值
PH = 2
S△MPH = PH*|(t-3)-(-t)|/2 = |2t-3| = 3-2t =1
解出：t=1

Ⅱ
若M点已经运动到EB上时，△MPH与矩形AOCD重合部分就是△EPH
此时 M点横坐标>-3/2，即t-3>-3/2
所以 3/2<t≤3
S△EPH = PH*|-3/2-(-t)|/2 = |t-3/2| = t-3/2 = 1
t = 5/2

综合I和II两种情况，当△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1时，t=1或t=5/2

②
点Q是点B关于点A的对称点，所以Q点坐标为（-6，-4）
PH = 2
BP+PH+HQ = 2+BP+HQ
求BP+PH+HQ的最小值，也就是求BP+HQ的最小值

PH和BC平行且相等，所以PBCH是平行四边形，所以BP=CH
BP+HQ = CH+HQ
当H点在CQ上的时候，CH+HQ取到最小值CQ

已知C(0,2)和Q(-6,-4)
可以求出直线CQ的方程：y=x+2
H点在x轴上，令y=0，解出 x=-2
H点坐标为（-2,0），
通过H点坐标可以写出P点坐标为（-2,2）
此时CH+HQ取到最小值，也就是BP取到最小值CQ = 6√2
BP+PH+HQ = 2+ 6√2

综上，P点坐标为（-2,2）时， BP+PH+HQ取到最小值 2+ 6√2