Question

已知:圆O的半径OA=5,弦AB=8,C是弦AB的中点,点P是射线AO上一点(与点A不重合),直线PC与射线BO交于点D

1)当点P在圆O上，求OD的长
（2）若点P在AO的延长线上，设OP＝X，DB分之OD＝y，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围

Answer 1

解：当P在⊙O上时，连接BP        …………………………………………（1分）

     ∵ C是AB中点，O是AP中点，

∴ 点D为△ABP的重心，  ∴  …………………………………（2分）

∵ OA=OB=5   ∴  ……………………………………………………（1分）

（2）过点O作OE//AB，交PC于点E（如图）  …………………………………（1分）

∵OE//AB  ∴，       ………………………………（2分）

又∵ AC=BC   ∴  …………………………………………………（1分）

即  (x>0)  ……………………………………………………………（2分）

(3) 当P在AO延长线上时，若△PCO∽△PAC时，有∠PCO=∠A，

∵∠A=∠B，∴∠PCO=∠B， 易证△ACO∽△BDC

得     得    ∴………………………………（2分）

当P在AO上时，若△PCO∽△PAC时，可得CP⊥AO（如图）

作BH⊥AO，可求得   ，

由， 得      ∴

则 ……………………………………………（2分）

综上所述，若△PCO与△PCA相似，此时BD的长为或

（其他解法略）

Answer 2

先解2）：
过圆O做AB的平行线OE交PD于点E
∵OE//AB
∴△OED相似△BCD，△OEF相似△ACF
∴OE:BC=OD:BD, OE:AC=OP:AP
∵OA=5，AB=8，C是弦AB的中点，OP=x，DB分之OD=y
∴OE=4y，4y:4=x:(x+5)
∴y与x的函数关系式为：y = x / (x+5)，自变量x的取值范围为 x > 0
再解1）：
∵OP=x=5
∴y=1/2=OD/DB，DB=2OD
∵OB=DB+OD=3OD=5
∴OD=5/3