Question

数学立体几何的一道题

2Rt三角形ABC所在的平面外一点S，且SA=SB=SC,D为斜边AC中点,（1）求证:SD⊥平面ABC（2）:若AB=BC求证BD⊥面SAC

Answer 1

证明:
（1）过S作SO⊥平面ABC，垂足为O
∵ SA=SB=SC
∴ OA=OB=OC
∴ O是△ABC的外心
∵ △ABC是直角三角形，所以，外心是斜边AC中点，
∴ O与D点重合，
∴ SD⊥平面ABC

（2）连接BD
∵ AB=BC
∴ BD⊥AC ①
由（1），SD⊥平面ABC
∵ BD在平面ABC内
∴ SD⊥BD ②
由①、②，
且 SD∩AC=D，SD，AC都在平面SAC中，
∴ BD⊥平面SAC

Answer 2

1），SA=SB=SC,D为斜边AC中点>>>:SD⊥AC,
过D作BC或AB的垂线，即可证得BD=AD=DC，>>>:SD⊥BD
于是有SD⊥平面ABC
2））:若AB=BC，D为斜边AC中点>>>AC⊥BD
加上SD⊥BD即可>>>BD⊥面SAC