Question

已知椭圆C的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),并且经过点M(1,3/2).

(1)求椭圆C的方程； (2)已知圆O:x^2+y^2=1,直线l:mx+ny=1,证明：当点P(m,n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围。

Answer 1

1、点M(1，3/2)到两焦点的距离之和2a=|MF1|＋|MF2|=4，则a=2，又：c=1，则b²=a²－c²=3，所求椭圆是：x²/4＋y²/3=1
2、因为点(m，n)在圆上运动，则：
m²＋n²=1
圆心(0，0)到直线的距离d=1/√(m²＋n²)=1=R
则直线mx＋ny=1与圆x²＋y²=1相切。

【点(m，n)是在圆外运动吧？】
因为点(m，n)在圆外运动，则：
m²＋n²>1
圆心(0，0)到直线的距离d=1/√(m²＋n²)<1=R
即：d<R
所以直线与圆相交
设弦长为AB，则：
[(1/2)AB]²=R²－d²=1－1/(m²＋n²)
因为0<m²＋n²<1，则：0<[(1/2)AB]²<1
得：0<AB<2