Question

已知f(x)=lnx+x^2-bx. (1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围;

(2)当b=-1时，设g(x)=f(x)-2x^2,求证函数g(x)只有一个零点。

Answer 1

【一】
f'(x)=(1/x)＋2x－b=(2x²－bx＋1)/(x)
函数定义域是x>0，则：2x²－bx＋1≥0对一切x>0恒成立，得：
bx≤2x²＋1
b≤2x＋(1/x)，其中x>0
考虑到2x＋(1/x)≥2√2
则：b≤2√2
【二】
b=－1，则：f'(x)=(2x²＋x＋1)/(x)
g'(x)=f'(x)－4x=(－2x²＋x＋1)/(x)=[－(x－1)(2x＋1)]/(x)
则：g(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，则g(x)的最大值是g(1)=0，则函数g(x)只有一个零点。

Answer 2

f(x)=lnx+x^2-bx
f'(x)=1/x+2x-b>0
2x^2-bx+1>0
只要其对称轴小于等于0即可
b/4≤0
b≤0

b=-1
f(x)=lnx+x^2+x
g(x)=f(x)-2x^2=lnx+x^2+x-2x^2=lnx-x^2+x
g'(x)=1/x-2x+1=1/x(-2x^2+x-1)
由于-2x^2+x-1=-2(x^2-1/2x+1/16-1/16)-1=-2(x-1/4)^2-7/8≤-7/8
所以g(x)在x>0时单减
而
g(0+)=-∞
因此函数g(x)只有一个零点

Answer 3

这是大学的高等数学题么？我建议你试试求导，大学的数学不太记得了，拿高中的方法也没有算出来，你先试试吧