Question

如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是斜边AB的中点，点E,F分别在边AC,BC上，且ED⊥DF，求证：三

如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是斜边AB的中点，点E,F分别在边AC,BC上，且ED⊥DF，求证：三角形EDF是等腰三角形

Answer 1

证明：连结AD。
因为 AC=BC，D是AB的中点，
所以 CD平分角ACB，CD垂直于AB，
因为 角ACB=90度，
所以 角ACD=角BCD=45度，角CDB=角CDA=90度，
因为 ED垂直于DF，
所以 角EDF=90度，
所以 角EDC+角FDC=90度，
因为 角CDB=90度，
所以 角BDF+角FDC=90度，
所以 角EDC=角BDF，
因为 AC=BC，角ACB=90度，
所以 角B=45度，
所以 角ACD=角B，
因为 角ACB=90度，D是AB的中点，
所以 CD=BD，
因为 角ACD=角B，CD=BD，角EDC=角BDF，
所以 三角形CDE全等于三角形BDF，
所以 DE=DF，三角形EDF是等腰三角形。

Answer 2

证明：
连接CD
∵∠C=90º，D是AB的中点
∴CD=½AB=AD【斜边中线等于斜边一半】
∵AC=BC
∴CD⊥AB,∠ACD =∠DCB =45º【三线合一】
∴∠ADE+∠EDC=90º
∵ED⊥DF
∴∠EDC+∠CDF=90º
∴∠ADE=∠CDF
又∵∠A =∠DCF=45º
∴⊿ADE ≌⊿CDF (ASA)
∴DE =DF
∴三角形EDF是等腰三角形