Question

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2），直线y

=- x与边BC相交于点D． （1）求点D的坐标；（2）抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．如图

Answer 1

解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-2 /3 x上，
∴-2=-2 /3 x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O；
∴ 16a+4b+c=0 c=0 9a+3b+c=-2 ，
解得： a=2/ 3 b=-8 /3 c=0 ；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=2/ 3 x2-8 /3 x；（8分）
（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-2/ 3 x，
∴直线AM为y=-2/ 3 x+8/ 3 ；
∴-2/ 3 x+8 /3 =2 /3 x2-8 /3 x
解得：x1=-1，x2=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，10/ 3 ）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=2/ 3 x2-8/ 3 x，
解得：x1=7，x2=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，10 /3 ）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．