Question

设a1>a2>…>an＞an+1求证：1/（a1-a2）+1/（a2-a3）+…+1/(an-a(n+1))+1/(a(n+1)-a1)＞0

Answer 1

已知条件应规定n≥2，否则所要证的不等式应为“≥”号。
用数学归纳法。
证：
由已知设a1-a2=d1，a2-a3=d2，a3-a4=d3，……，an-a(n+1)=dn，(d1，d2，d3，……，dn>0)
则a(n+1)-a1=-(d1+d2+d3+...+dn)
当n=2时，
1/(a1-a2)+1/(a2-a3)+1/(a3-a1)=1/d1+1/d2-1/(d1+d2)
=[d2(d1+d2)+d1(d1+d2)-d1d2]/[d1d2(d1+d2)]
=(d1d2+d2²+d1²+d1d2-d1d2)/[d1d2(d1+d2)]
=(d2²+d1d2+d1²)/[d1d2(d1+d2)]>0，不等式成立。
假设当n=k(k∈N，且k≥2)时，不等式成立，即1/(a1-a2)+1/(a2-a3)+...+1/[ak-a(k+1)]+1/[a(k+1)-a1]>0，
1/(a1-a2)+1/(a2-a3)+...+1/[ak-a(k+1)]>1/[a1-a(k+1)]
则当n=k+1时，
1/(a1-a2)+1/(a2-a3)+...+1/[ak-a(k+1)]+1/[a(k+1)-a(k+2)]+1/[a(k+2)-a1]
>1/[a1-a(k+1)]+1/[a(k+1)-a(k+2)]+1/[a(k+2)-a1]
=1/(d1+d2+...+dk)+1/d(k+1)-1/[d1+d2+...+dk+d(k+1)]
=1/(d1+d2+...+dk) -1[d1+d2+...+dk+d(k+1)] +1/d(k+1)
0<d1+d2+...+dk<d1+d2+...+d(k+1)，因此1/(d1+d2+...+dk)>1/[d1+d2+...+d(k+1)]
1/(d1+d2+...+dk) -1[d1+d2+...+dk+d(k+1)] +1/d(k+1)>1/d(k+1)>0
1/(a1-a2)+1/(a2-a3)+...+1/[ak-a(k+1)]+1/[a(k+1)-a(k+2)]+1/[a(k+2)-a1]>0，不等式同样成立。
综上，得不等式成立。