Question

设a1,a2,……，an(n>=2)是正实数，且满足a1+a2+……+an<1.求证：

设a1,a2,……，an(n>=2)是正实数，且满足a1+a2+……+an<1.求证：a1a2……an*(1-(a1+a2+……+an))/((a1+a2+……+an)(1-a1)(1-a2)……(1-an))<=1/(n^(n+1)

Answer 1

设1-(a1+a2+。。。+an)=a(n+1)，那么你要证的就是
a1a2……an*a(n+1)/((1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1)))<=1/n^(n+1)
利用均值不等式，(1-a1)/n=a2+a3+……+a(n+1)/n>=（a2a3……a(n+1)）^(1/n)=I^(1/n)/a1^(1/n)。其中I=a1a2……an*a(n+1)
同理可得另外n个不等式。这n+1个不等式相乘，得到
(1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1))/n^(n+1)>=I^((n+1)/n)/I^(1/n)=I
这就是你所要证明的

Answer 2

设1-(a1+a2+。。。+an)=a(n+1)，那么你要证的就是
a1a2……an*a(n+1)/((1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1)))<=1/n^(n+1)
利用均值不等式，(1-a1)/n=a2+a3+……+a(n+1)/n>=（a2a3……a(n+1)）^(1/n)=I^(1/n)/a1^(1/n)。其中I=a1a2……an*a(n+1)
同理可得另外n个不等式。这n+1个不等式相乘，得到
(1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1))/n^(n+1)>=I^((n+1)/n)/I^(1/n)=I