Question

一道高中数学函数值域问题，求过程

Answer 1

解一：由于分母x²-x+1=(x-1/2)²-1/4+1=(x-1/2)²+3/4≧3/4>0，故其定义域为x∈R.
去分母，移项，整理得(y-2)x²-(y-2)x+y-3=0
∵x∈R，∴其判别式Δ=(y-2)²-4(y-2)(y-3)=(y-2)[(y-2)-4(y-3)]=(y-2)(-3y+10)=-3(y-10/3)(y-2)≧0
即有(y-10/3)(y-2)≦0，于是得值域为2<y≦10/3.
[ 注意y≠2；若y=2，则有2(x²-x+1)=2x²-2x+3，从而得到2=3，这当然很荒唐！所以用此法时要留
意个别的极端情况。]
解二：y=(2x²-2x+3)/(x²-x+1)=2+1/(x²-x+1)
令y′=-(2x-1)/(x²-x+1)²=0，得驻点x=1/2；当x<1/2时y′>0，函数单调增；当x>1/2时y′<0，函数单调减；故x=1/2是极大点；∴ymax=y(1/2)=2+1/(1/4-1/2+1)=2+4/3=10/3；
x→±∞limy=x→±∞lim[2+1/(x²-x+1)]=2；故值域为2<y≦10/3.
解三：y=(2x²-2x+3)/(x²-x+1)=2+1/(x²-x+1)=2+1/[(x-1/2)²+3/4]≦2+1/(3/4)=2+4/3=10/3
故有极大值10/3；没有极小值，但用极限概念(参看解二)可得2<y≦10/3.

Answer 2

原始可变为 Y=2+[1/（X^2-X+1）]=2+{1/[(X-1/2)^+3/4]}
因为 X^2-X+1=(X-1/2)^+3/4>=3/4，所以 1/[(X-1/2)^+3/4]<=4/3，故
值域y<=2+4/3=10/3

Answer 3

提示：对等式两边去分母，整理成x的一元二次方程(系数含y)，令判别式大于等于0，即可求得y的取值范围（即值域）。

Answer 4

解：y=(2x²-2x+2+1)/（x²-x+1)={2(x²-x+1)+1}/(x²-x+1)=2+1/(x²-x+1)
而(x²-x+1)=（x-0.5)²+0.75≥¾ 所以0</(x²-x+1)≤4/3
所以y的值域为(0,10/3]

Answer 5

原始可变为 Y=2+1/（X2-X+1） 分母X2-X+1 值大于等于3/4 哪么他的倒数就是小于等于4/3 这个再加上2 就是2+4/3=10/3 所以函数值于小于等于10/3

Answer 6

朋友,请把戏Y看成常数,变成一元二次议程,判别式> 或=0 求解,就行了,
当然,也可以求导数.