Question

高中数学，请解答，谢谢！我在家问不了老师

若a，b，c均为实数，且a=x~2-2y+兀/2，b=y~2-2z+兀/3，c=z~2-2x+兀/6求证：a，b，c中至少有一个大于0。注(~2为平方)谢谢！

Answer 1

反证法：
假设a，b，c全部不大于0
即：a小于等于0 b小于等于0 c小于等于0
则a+b+c小于等于0
而：a+b+c=(x²-2y+π/2)+(y²-2z+π/3)+(z²-2x+π/6)=x²+y²+z²-2x-2y-2z+π
配方得：a+b+c=(x-1)²+（y-1)²+(z-1)²+(π-3)
因为（x-1)²大于等于0
（y-1)²大于等于0
（z-1)²大于等于0
π-3>0
所以a+b+c必然大于零
所以a，b，c中至少有一个大于0

遇到证明题中有“至少”、“最多”之类的话，一般情况下用反证法

Answer 2

反证法最简单
假设ABC全部小于等于0
那么将以上3式子相加
得到
a+b+c=x^2-2y+ π /2+y^2-2z+π /3+z^2-2x+π/6
整理这个式子
可以得到
a+b+c=(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 + 0.1415……
右边一定大于0
左边由于假设了ABC都小于等于0，所以左边一定小于等于0
那么这个等式矛盾
假设不成立
所以ABC至少有一个大于0

Answer 3

这个题要用反证法，设abc全都小于等于0.
然后解方程 xyz 无解
说明全小于等于0不成立，那么就是至少有一个大于0

Answer 4

不等式问题，你用换元看一下，建议三角换元
一个很直接的做法，把a和b和c加一块，然后能加出个完全平方式，但是平方式的里面是3，不是派，但是派比3大，所以，你就算出来了