Question

设X是在[a,b]上取值的任一随机变量，证明X的数学期望与方差分别满足:a<=E(X)<=b,D(X)<=((b-a)/2)^2

Answer 1

1) a<=<x<=b
E(a)<=E(x)<=E(b)
a<=E(x)<=b
2) X是在[a,b]上取值的任一随机变量，
A. 如果x在[a,b]上均匀分布，那么它的方差为：D = (b-a)²/12；
B. 如果x一会取a、一会取b，而不取其它的值：a:p(a)=0.5；b:p(b)=0.5；那么它的方差D的值
将会取最大值。此时E(x)=(a+b)/2，D=(b-a)²/4；
C.对于其它任意分布的随机变量，其方差D(x)都小于D的值，即：方差满足：
D(X) <= D=(b-a)²/4 。