Question

已知m.n为正整数，实数x,y满足x+y=4(√x+m+√y+m)若x+y的最大值40,则m+n=

已知m.n为正整数，实数x,y满足x+y=4(√x+m+√y+n)若x+y的最大值40,则m+n=

Answer 1

x+y=4√(x+m)+√(y+n)即4√(x+m)-x=y-4√(y+n)
16(x+m)²+x²-8x√(x+m)=16(y+n)²+y²-8y√(y+n)
17x²+2xm+m²-8√(x+m)=17y²+2yn+n²-8√(y+n)
(x²+y²)/2≥(x+y)²/4，当且仅当x=y时，等号成立，x+y有最大值40，即x=y=20
∴17x²+2xm+m²-√（x+m)=17x²+2xn+n²-8y√(x+n)
∴m=n
∴2x=4[2√(x+m)]
5=√(20+m)
20+m=25
m=5
m+n=10

Answer 2

怎么没看到N啊

Answer 3

因为(a+b)^2<=2(a^2+b^2)所以x+y=4(√(x+m)+√(y+n))<=4(√（2(x+m+y+n)）于是有(x+y)^2-32(x+y)-32（m+n)<=因此由求根公式得x+y<=16+4√(16+2(m+n))由于x+y的最大值是40得16+4√(16+2(m+n))=40得m+n=10其中最大值当x=(1/2)(40+b-a),y=(1/2)(40-b+a)时取到。