Question

如图已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与Y轴交与点C（0,3）

(1)求抛物线解析式计对称轴方程和顶点坐标
（2）在抛物线上是否存在一点M，使M到B，C两点距离之差最大？求出M坐标
(3)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

1),抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与Y轴交与点C（0,3）
>>>抛物线解析式y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3
>>>y=-(x-1)^2+2>>>对称轴方程x=1
>>>顶点坐标(1,4)
2),对于三角形BCM, 两边之差小于第三边；因此BC和MC的差最大值为BC，此时M和B点或C点重合，所以M点坐标为(0,3)或(3,0)
3),P(x,y),C(0,3),D(1,4)，CD=√2,
△PDC是等腰三角形，
则PD=CD，P在抛物线y=-x^2+2x+3对称轴的右侧的上,x>=1，可得P的坐标(2,3)
或PC=PD，P在CD的垂直平分线y=-x+4上，x>=1，可得P的坐标[(3+√5)/2,(5-√5)/2]
或PC=CD，x>=1(此种情况无合适的点P）
因此，P的坐标为(2,3)或[(3+√5)/2,(5-√5)/2]