Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，DB=DF 若AE=6，CD=4，试求四边形AFD

的面积

Answer 1

该题没写清楚求哪个四边形的面积。

假设求四边形AFDB的面积
从上图最直接的做法是：
由已知易证 △DCF与△DEB全等，△ACD与△AED全等, AC=AE=6
∴ 四边形AFDB的面积=四边形ACDE的面积=2 X △ACD的面积=AC X CD=4 X 6 =24
但这个结果是完全错误的！
因为这个解法的前提是F落在AC之间，实际上F应该在CA的延长线上。
证明如下：
设DF=DB=x，由于AD是∠BAC的平分线， ∴ AB：BD=AC：CD=AE：CD=6 ：4=1.5
AB=1.5x
由勾股定理 （1.5x）^2=36 + （4+x）^2 , 得 5x^2-32x-208=0
(5x-52)(x+4)=0 解得 x=10.4
∴ CF^2 =DF^2 - DC^2=(10.4)^2-16=6.4*14.4=64*1.44=（8*1.2）^2
CF=9.6>AC ∴ F在CA延长线上 而不是在AC之间。
这个图形中的各个线段都可以解出来，且有众多的直角三角形，所以任何一个四边形的面积都很容易通过各直角三角形的面积加加减减得出，在此不再计算。