Question

如果一个二元函数在某点有连续的二阶偏导数，那么能不能推出一阶偏导数在该点也连续？为什么，谢谢！

不好意思请大家看清楚了，我问的是偏导数！另外：二阶偏导数存在并不能推出一阶就连续，反例可以参看同济版高等数学

Answer 1

不能推出:一阶偏导数在该点也连续

反例如下:
f(x,y)=exp(x*y)/y^(3/2) (y！=0），
f(x,0)=0

则：df/dx=exp(x*y)/y^(1/2)
d^2f/dx^2=y^(1/2)*exp(x*y)

y^(1/2)*exp(x*y)连续．
exp(x*y)/y^(1/2)不连续

有没有搞错,我都给你反例了,你还这么提醒我?你要是觉得不对就指出来．

Answer 2

能。因为一阶偏数连续，可以推出函数连续，所以，二阶偏导数连续可以推出一阶偏数连续。

Answer 3

可导必连续，既然能对f(x)'再求导，说明f(x)'是连续的其实没有必要知道二阶是否连续，只要存在二阶导那么它的一阶导就是连续的，因为二阶可以看成对一阶导进行求导！

Answer 4

可以。f''(x)存在，则f'(x)在此点可导，可知f'(x)在此点连续