（2010?内江）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）请求出抛物线顶
（2010?内江）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐...
（2010?内江）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
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（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x2-2x-3）=m（x-1）2-4m，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）；（2分）
∵抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y=0时，mx2-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x2-2x-3=0；
解得x1=-1，x2=3，
∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）
（2）当x=0时，y=-3m，
∴点C的坐标为（0，-3m）．
∴S△ABC＝
×|3?(?1)|×|?3m|＝6|m|＝6m．（5分）
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=OB-OD=2，
MD=|-4m|=4m．
∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC
=
BD?DM+
(OC+OM)?OD?
OB?OC
=
×2×4m+
(3m+4m)×1?
×3×3m
=3m．（7分）
∴S△BCM：S△ABC=1：2，（8分）
故答案为：
；
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线；
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN=OD=1，DN=OC=3m，
∴MN=DM-DN=m．
∴CM2=CN2+MN2=1+m2；
在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=9+9m2，
在Rt△BDM中，BM2=BD2+DM2=4+16m2；
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC=90°，那么CM2+BM2=BC2，
即1+m2+4+16m2=9+9m2，
解得m＝±
，
∵m＞0，∴m＝
．
∴存在抛物线y=
x2-
x-
∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）；（2分）
∵抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y=0时，mx2-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x2-2x-3=0；
解得x1=-1，x2=3，
∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）
（2）当x=0时，y=-3m，
∴点C的坐标为（0，-3m）．
∴S△ABC＝
| 1 |
| 2 |
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=OB-OD=2，
MD=|-4m|=4m．∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC
=
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| 2 |
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| 2 |
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| 2 |
=
| 1 |
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| 1 |
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=3m．（7分）
∴S△BCM：S△ABC=1：2，（8分）
故答案为：
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（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线；
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN=OD=1，DN=OC=3m，
∴MN=DM-DN=m．
∴CM2=CN2+MN2=1+m2；
在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=9+9m2，
在Rt△BDM中，BM2=BD2+DM2=4+16m2；
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC=90°，那么CM2+BM2=BC2，
即1+m2+4+16m2=9+9m2，
解得m＝±
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∵m＞0，∴m＝
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∴存在抛物线y=
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