Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．

Answer 1

解答：解：（1）∵ED是BC的垂直平分线
∴EB=EC，ED⊥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=90°，
∴FE∥AC，
∴∠1=∠5，
∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余
∴∠1=∠2，
∴AE=CE，
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，
∴∠5=∠F，
∴∠2=∠F，
∴在△EFA和△ACE中
∵

∠5＝∠1 ∠F＝∠2 AF＝EC

，
∴△EFA≌△ACE（AAS），
∴∠AEC=∠EAF
∴AF∥CE
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°
∴∠1=∠2=60°
∴∠AEC=60°
∴AC=EC
∴平行四边形ACEF是菱形．