Question

已知,如图四边形ABCD中,BA=BC,∠ABC=60°,∠CDA=120°,求证：（1）AD+CD=BD（2）DB平分∠ADC

Answer 1

证明：

延长AD到E，使DE=DC，连接CE、CA。

①∵∠ABC=60°，AB=BC

∴△ABC是等边三角形

∴AC=BC，∠ACB=60°

∵∠CDE=180°-∠ADC=60°

   DE=DC

∴△DCE是等边三角形

∴DC=EC，∠E=∠DCE=60°=∠ACB

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD

即∠BCD=∠ACE

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD=AE

∵AE=AD+DE=AD+CD

∴AD+CD=BD

②

∵△BCD≌△ACE

∴∠BDC=∠E=60°

则∠ADB=∠ADC-∠BDC=120°-60°=60°

∴∠BDC=∠ADB

∴DB平分∠ADC