Question

已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，数列{Sn+1}是公比为2的等比数列

（I）求数列{an}的通项公式；
（II）数列{Sn}中是否存在不同的三项Sm，Sn，Sk，使得Sm，Sn，Sk为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组n，n，k的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

（I）Sn+1 的第一项是 1+1=2 ，公比 q=2 ，
因此 Sn+1=2^n ，所以 Sn=2^n-1 ，
由 a1=1 ，且 n>=2 时，an=Sn-S(n-1)=(2^n-1)-[2^(n-1)-1]=2^(n-1) 得
｛an｝的通项是 an=2^(n-1) 。
（II）假如存在这样的三项，则 2Sn=Sm+Sk ，
即 2*(2^n-1)=2^m-1+2^k-1 ，
整理得 2^(n+1)=2^m+2^k ，
设 p=min(n+1 ，m ，k) ，上式两端同除以 2^p 得
2^(n+1-p)=2^(m-p)+2^(k-p) ，
有式三项中有一项为 1 ，而其余两项为偶数 ，因此不可能成立，
所以，不存在满足条件的 m、n、k 值。