Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD 上，连接AF、EF

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD 上，连接AF、EF．（1）求证：AD=ED；（2）如果AF ∥ CD，求证：四边形ADEF是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD ∥ BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB，
又∵AB⊥AD，BE⊥CD，
∴∠BAD=∠BED=90°，
于是，在△ABD和△EBD中，
∵∠ADB=∠CDB，∠BAD=∠BED，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=ED．

（2）∵AF ∥ CD，∴∠AFD=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD，
又∵AD=ED，
∴AF=DE，于是，由AF ∥ DE，AF=DE得四边形ADEF是平行四边形，
又∵AD=ED，
∴四边形ADEF是菱形．