Question

如图，在梯形ABCD中，AB ∥ DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连接 CE、AF．（1

如图，在梯形ABCD中，AB ∥ DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连接 CE、AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF=4，tan∠OAE= 2 5 ，求四边形AECF的面积．

Answer 1

（1）证明： 方法1： ∵AB ∥ DC， ∴∠1=∠2． 在△CFO和△AEO中， ∠1=∠2 ∠FOC=∠EOA OC=OA ∴△CFO≌△AEO． ∴OF=OE， 又∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． 方法2：证△AEO≌△CFO同方法1， ∴CF=AE， ∵CF ∥ AE， ∴四边形AFCE是平行四边形． ∵OA=OC，EF⊥AC， ∴EF是AC的垂直平分线， ∴AF=CF， ∴四边形AECF是菱形． （2）∵四边形AECF是菱形，EF=4， ∴OE= 1 2 EF= 1 2 ×4=2． 在Rt△AEO中， ∵tan∠OAE= OE OA = 2 5 ， ∴OA=5， ∴AC=2AO=2×5=10． ∴S 菱形AECF = 1 2 EF?AC= 1 2 ×4×10=20．