Question

已知函数f（x）=2x 3 -3x 2 +3．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0

已知函数f（x）=2x 3 -3x 2 +3．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当x=2时，f（2）=7 故切点坐标为（2，7） 又∵f′（x）=6x 2 -6x． ∴f′（2）=12 即切线的斜率k=12 故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-7=12（x-2） 即12x-y-17=0 （2）令f′（x）=6x 2 -6x=0，解得x=0或x=1 当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数， 故当x=0时，函数f（x）取极大值3， 当x=1时，函数f（x）取极小值2， 若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则2＜-m＜3，即-3＜m＜-2 故实数m的取值范围为（-3，-2）