Question

设函数f（x）=（x-a）|x|+b．（1）当a=2，b=3，求函数y=f（x）的零点；（2）设b=-2，且对任意x∈[-1，1]

设函数f（x）=（x-a）|x|+b．（1）当a=2，b=3，求函数y=f（x）的零点；（2）设b=-2，且对任意x∈[-1，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解答：解（1）当a=2，b=3时
函数f（x）=（x-2）|x|+3的解析式可化为：
f（x）=

x2?2x+3，x≥0 2x?x2+3，x＜0

．
易知，当x≥0时，f（x）=（x-1）²+1≥1恒成立，故此时没有零点；当x＜0时，令f（x）=0得x=-1或3（舍），故x=-1符合题意；
综上原函数的零点为-1．
（2）当b=-2时，由f（x）＜0得，（x-a）|x|＜2．
当x=0时，a取任意实数，不等式恒成立；
当0＜x≤1时，原式可化为a＞x-

2

x

，令g（x）=x?

2

x

，易知该函数在0＜x≤1上单调递增，
∴a＞g_max（x）=g（1）=-1；
当-1≤x＜0时，原式可化为a＞x+

2

x

．令g(x)＝x+

2

x

，由g′(x)＝1?

2

x2

＜0得?

2

＜x＜0或0＜x＜

2

．
故函数g（x）在[-1，0）上递减，所以此时a＞g（x）_max=g（-1）=-3．
综上，当a＞-1时对任意x∈[-1，1]，f（x）＜0恒成立．