Question

)已知函数f(x)=ax^2+(b-8)x-a-ab，当x属于(-3,2)时，f(x)>0，当x属于(负无穷,-3)并上(2,正无穷)时f(x)<o

不等式ax^2+bx+c<=0在[1,4]上恒成立，求实数c的取值范围。过程要详细

Answer 1

由题意知：-3和2是方程f(x)=ax^2+(b-8)x-a-ab=0的两个解，则：a≠0，f(-3)=9a-3(b-8)-a-ab=0，且f(2)=4a+2(b-8)-a-ab=0，解得：a=-3，b=5
所以ax^2+bx+c=-3x^2+5x+c=-3(x+5/6)^2+c+25/18，在[1,4]上单调递减，所以ax^2+bx+c的最大值在x=1处取到，此时ax^2+bx+c=-3x^2+5x+c=-3×1+5×1+c=2+c≤0，所以c≤-2，所以实数c的取值范围为(-∞,-2]

追问

为什么要取x=1才满足题意

追答

因为要使ax^2+bx+c<=0在[1,4]上恒成立，就必须ax^2+bx+c在[1,4]上的最大值<=0，而ax^2+bx+c在x=1时取最大值

追问

嗯，懂了谢谢