Question

设函数f（X）=（X

设函数f（X）=（X-1）（X-2）（X-3）（X-4），则F'(X)=0有( )A.分别位于区间(1,2)(2,3)(3,4)内的三个根B.四个根为1,2,3,4C.分别位于(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)内的四个根D.分别位于区间(0,1)(1,2)(2,3)内的3个根帮忙解答下,要有过程,谢谢

Answer 1

首先要搞清楚题目问的是什么？
本题问的是导函数F'(X)=0的根而不是问原函数的根，f(x)是四次多项式，所以导函数是三次多项式，最多有三个根
本题选 A 为什么？
选择题一般是没有书面过程的 ，只能描述一下。
当x>4后f(x)的各个因数都正的，也就是在[4,+∞)单调增，相反
x<1时，各个因数都是负的越往左纵坐标越大也就是在(-∞，1）上单调减
原函数 整个图像逞"W"字样，x轴与W有四个六点，分别是1，2，3，4，这个W样的图像有一个极大值点两个极小值点，也就是导函数有三个根，这三个根分布在（1，2）（2，3）与（3，4）之间

Answer 2

f'(X)=(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)[(x-2)(x-3)(x-4)]'
=(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1){(x-3)(x-4）+（x-2)[(x-3)(x-4)]'}
=(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-2)(x-4)+(x-1)(x-2)(x-3)
提取①④项和②③公因式
=(x-1)(x-4)(2x-5)+(x-2)(x-3)(2x-5)
=(2x-5)[(x-4)(2x-5)+(x-2)(x-3)]
=(2x-5)2(x^2-5x+5)
=2(2x-5)(x-5/2-√5/2)(x-5/2+√5/2)
由此可知，F'(X)=0有三个根分别位于区间(1,2)(2,3)(3,4)内
所以，A正确

Answer 3

选择A