Question

已知公差大于零的等差数列a n 的前n项和为S n ，且满足：a 3 ?a 4 =117，a 2 +a 5 =22．（1）求数列a n

已知公差大于零的等差数列a n 的前n项和为S n ，且满足：a 3 ?a 4 =117，a 2 +a 5 =22．（1）求数列a n 的通项公式a n ；（2）若数列b n 是等差数列，且 b n = S n n+c ，求非零常数c；（3）若（2）中的b n 的前n项和为T n ，求证： 2 T n -3 b n-1 ＞ 64 b n (n+9) b n+1 ．

Answer 1

（1）a n 为等差数列，a 3 ?a 4 =117，a 2 +a 5 =22 又a 2 +a 5 =a 3 +a 4 =22 ∴a 3 ，a 4 是方程x 2 -22x+117=0的两个根，d＞0 ∴a 3 =9，a 4 =13 ∴ a 1 +2d=9 a 1 +3d=13 ∴d=4，a 1 =1 ∴a n =1+（n-1）×4=4n-3 （2）由（1）知， s n =n+ n(n-1)×4 2 =2 n 2 -n ∵ b n = s n n+c = 2 n 2 -n c+n ∴ b 1 = 1 1+c ， b 2 = 6 2+c ， b 3 = 15 3+c ， ∵b n 是等差数列，∴2b 2 =b 1 +b 3 ，∴2c 2 +c=0， ∴ c=- 1 2 （c=0舍去）， （3）由（2）得 b n = 2 n 2 -n n- 1 2 =2n ， T n =2n+ n(n-1)×2 2 = n 2 +n=(n+1)n 2T n -3b n-1 =2（n 2 +n）-3（2n-2）=2（n-1） 2 +4≥4， 但由于n=1时取等号，从而等号取不到2T n -3b n-1 =2（n 2 +n）-3（2n-2）=2（n-1） 2 +4＞4， ∴ 64 b n (n+9) b n+1 = 64×2n (n+9)?2(n+1) = 64n n 2 +10n+9 = 64 n+ 9 n +10 ≤4 ， n=3时取等号（15分） （1）、（2）式中等号不能同时取到，所以 2 T n -3 b n-1 ＞ 64 b n (n+9) b n+1 ．