Question

已知函数f（x）=2 x+1 定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，求

已知函数f（x）=2 x+1 定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，求函数g（x），h（x）的解析式；（2）若F（x）=g（2x）+2mh（x）+m 2 -m-1（m∈R），设h（x）=t，把F（x）表示为t的函数p（t）；（3）若关于的方程F（x）=m 2 -m+2在x∈[1，2]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数， 则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②， 由①、②解得 g(x)= f(x)+f(-x) 2 ， h(x)= f(x)-f(-x) 2 ．（2分） ∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上． ∵ g(-x)= f(-x)+f(x) 2 =g(x) ， h(-x)= f(-x)-f(x) 2 =-h(x) ． ∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数， 把f（x）=2 x+1 代入求得， g(x)= f(x)+f(-x) 2 = 2 x+1 + 2 -x+1 2 = 2 x + 1 2 x ， h(x)= f(x)-f(-x) 2 = 2 x+1 - 2 -x+1 2 = 2 x - 1 2 x ．（6分） （2）由 2 x - 1 2 x =t ，则t∈R，平方得 t 2 =( 2 x - 1 2 x ) 2 = 2 2x + 1 2 2x -2 ， ∴ g(2x)= 2 2x + 1 2 2x = t 2 +2 ，代入F（x）的解析式得， p（t）=t 2 +2mt+m 2 -m+1．（10分） （3）∵t=h（x）= 2 x - 1 2 x 在区间[1，2]上单调递增，∴ 3 2 ≤t≤ 15 4 ．（12分） 由F（x）=m 2 -m+2得t 2 +2mt-1=0 ∴ m= 1 2 ( 1 t -t) ，令?（t）= 1 2 ( 1 t -t)(t∈[ 3 2 ， 15 4 ]) 由题意得，m的取值范围就是函数?（t）的值域．（14分） ∵ 1 t ，-t 在 t∈[ 3 2 ， 15 4 ] 上均为减函数， 故?（t）在 t∈[ 3 2 ， 15 4 ] 上单调递减，而 ?( 3 2 )=- 5 12 ?( 15 4 )=- 209 120 ， ∴函数?（t）的值域为 [- 209 120 ，- 5 12 ] 即m的取值范围为 [- 209 120 ，- 5 12 ] （16分）