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如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于E,交⊙O于点
如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于E,交⊙O于点F,且BC=CF(1)试判断DE与⊙O的位置关系并加以...
如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于E,交⊙O于点F,且BC=CF(1)试判断DE与⊙O的位置关系并加以证明;(2)若BD=53,AE=4,求∠BCD的正切值.
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证明:连接OC(如图)
∵
BC |
CF |
∵⊙O是△ABC的外接圆
∴点C在圆上
∴OC=OA
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴OC∥AE(3分)
∵AE⊥DE,∴∠AED=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC,即OC⊥DE
∴DE是⊙O的切线(4分)
(2)解:在△ADE中,由(1)知OC∥AE
∴
OC |
AE |
DO |
DA |
设OC=t
∵BD=
5 |
3 |
∴
t |
4 |
| ||
|
整理,得6t2-7t-20=0
解得t1=
5 |
2 |
4 |
3 |
经检验t1,t2均为原方程的解,由于线段长为非负,故舍去负值.
得OC=
5 |
2 |
∴AB=5
∵DC切⊙O于点C,DBA是⊙O的割线
∴DC2=DB?DA=
5 |
3 |
5 |
3 |
∴DC=
10 |
3 |
∵∠BCD=∠2,∠D是公共角,
∴△DBC∽△DCA
∴
BC |
AC |
DB |
DC |
| ||
|
1 |
2 |
由已知AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°,∴tan∠2=
BC |
AC |
1 |
2 |
∴tan∠BCD=tan∠2=
1 |
2 |
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