Question

已知双曲线C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）经过点P（4，15），且双曲线C的渐近线与圆x2+（y-3）2=4相切．（

已知双曲线C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）经过点P（4，15），且双曲线C的渐近线与圆x2+（y-3）2=4相切．（1）求双曲线C的方程；（2）设F（c，0）是双曲线C的右焦点，M（x0，y0）是双曲线C的右支上的任意一点，试判断以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵双曲线C：

x2

a2

?

y2

b2

=1经过点P（4，

15

），所以

16

a2

?

15

b2

＝1①．
∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x²+（y-3）²=4相切，
所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，
即

|3a|

b2+a2

＝2，整理得5a²=4b²②．
联立①与②，解得

a2＝4 b2＝5

，
∴双曲线C的方程为

x2

4

?

y2

5

＝1；
（2）由（1）得，c＝

a2+b2

＝3，所以双曲线C的右焦点为F（3，0）．
设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，
所以|MF′|-|MF|=4，即

(x0+3)2+y02

?

(x0?3)2+y02

=4，
所以即

(x0+3)2+y02

=

(x0?3)2+y02

+4，
因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r₁=2；
以MF为直径的圆的圆心为(

x0+3

2

，

y0

2

)，半径为r2＝

1

2

(x0?3)2+y02

，
所以两圆圆心之间的距离为d＝

( x0+3 2 )2+( y0 2 )2

＝

1

2

(x0+3)2+y02

．
因为d＝

1

2

(x0+3)2+y02

＝

1

2

[4+

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